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By Juan Carlos Cabello Píñar

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También se dice que α es una cota esencial de f . Denotaremos por L∞ [0, 1] = f ∈ K[0,1] : f es esencialmente acotada . Se comprueba que, dada f ∈ L∞ [0, 1], el conjunto de sus cotas esenciales tiene mínimo, que denotamos por ν∞ (f ). d. } . L∞ [0, 1] denotará el espacio de Banach cociente L∞ [0, 1]/M cuando en él se considera la norma f + M ∞ = ν∞ (f ), ∀f ∈ L∞ [0, 1]. No está de más mencionar que Lp [0, 1] (1 ≤ p ≤ ∞) se considerará siempre como espacio normado mediante · p y que los elementos de este espacio serán tratados habitualmente como funciones (en lugar de clases) sin olvidar, claro está, la igualdad casi por doquier.

T es lineal, continuo sobreyectivo si, y sólo si, lo es su adjunto. 2. T es un isomorfismo isométrico si, y sólo si, lo es su adjunto. 42 Capítulo 2. 4. Bidual de un espacio normado. Espacios reflexivos. Podemos ahora considerar el espacio dual de un espacio dual. Sea X un espacio normado, llamamos bidual de X y denotamos por X ∗∗ al espacio dual de X ∗ , esto es, al espacio (X ∗ )∗ dotado con la norma ||x∗∗ || = sup{|x∗∗ (x∗ )| : x∗ ∈ BX ∗ }. Veamos algunos elementos distinguidos del bidual. Nótese que para cada x ∈ X, podemos definir la aplicación JX (x) : X ∗ → K dada por JX (x)(f ) = f (x), ∀f ∈ X ∗ , que es, claramente lineal, y puesto que, |JX (x)(f )| = |f (x)| ≤ f x , ∀f ∈ X ∗ , es también continua.

El espacio 1 muestra claramente que la separabilidad de un espacio no es heredada necesariamente por su espacio dual. 4 Sea X un espacio normado cuyo dual X ∗ es separable. Entonces X es separable. 5 Sea X un espacio normado reflexivo. Entonces X es separable si, y sólo si, su dual X ∗ lo es. Como consecuencia, obtenemos que 1 no es reflexivo. Si 1 fuese reflexivo, dado que es separable, también sería separable su dual ∞ , el cual sabemos que no lo es. 2. Dual de C([a, b]) Comencemos definiendo el concepto de integral Riemann-Stieljes.

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by Kenneth
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